结果解读:符号、取值范围与无定义值
按象限判断符号(ASTC)
每个函数的符号取决于角的终边落在哪个象限。一个常用的记忆口诀是 ASTC("All Students Take Calculus",即"所有学生都学微积分"):
第一象限(0° 到 90°):A(All,全部)六个函数都为正。
第二象限(90° 到 180°):只有S(正弦,Sine)及其倒数余割为正。
第三象限(180° 到 270°):只有T(正切,Tangent)及其倒数余切为正。
第四象限(270° 到 360°):只有C(余弦,Cosine)及其倒数正割为正。
倒数与其对应函数的符号总是相同。例如,在 150°(第二象限)时,sin = 0.5 与 csc = 2 为正,而 cos、sec、tan 和 cot 都为负。超出 0°–360° 范围的角(包括负角)每隔 360°(\(2\pi\))重复一次。因此 390° 与 30° 的值相同,−30° 与 330° 的值相同。
各函数的取值范围
函数
可能取值
sin、cos(正弦、余弦)
\(-1 \le y \le 1\)
csc、sec(余割、正割)
\(y \le -1\) 或 \(y \ge 1\)(永远不会介于 −1 和 1 之间)
tan、cot(正切、余切)
任意实数
这些取值范围可用于快速检查。绝对值大于 1 的正弦或余弦,或者像 0.4 这样的正割或余割,说明输入或单位设置有误。最常见的错误是计算器设置为弧度时却输入了角度,或者反过来。
无定义值:这里的 0 并不表示零
正切和正割除以 \(\cos\theta\)。余切和余割除以 \(\sin\theta\)。如果该分母恰好为零,则该函数没有值,即无定义。在图像上,这些角对应出现竖直渐近线的位置。
\(\tan 90° = \sin 90° / \cos 90° = 1/0\):无定义。sec 90°、tan 270° 和 sec 270° 同样如此。
\(\csc 180° = 1/\sin 180° = 1/0\):无定义。cot 180° 同样如此。
\(\cot 0° = \cos 0° / \sin 0° = 1/0\):无定义。csc 0° 和 csc 360° 同样如此。
如果计算器在这些角度上对 csc、sec、tan 或 cot 显示 0,或者留空,应理解为"无定义"。一般地,tan 和 sec 在 90° + k·180° 处无定义,cot 和 csc 在 k·180° 处无定义,其中 k 为任意整数。
非常大或非常小的数来自舍入误差
计算机只能近似存储 π,因此把 90° 转换为弧度后并不恰好等于 \(\pi/2\)。因此,\(\cos 90°\) 可能显示为约 \(6.1 \times 10^{-17}\) 而不是 0,\(\sin 180°\) 可能显示为约 \(1.2 \times 10^{-16}\)。除以这些微小的残差会得到巨大的数值:tan 90° 可能显示为类似 \(1.6 \times 10^{16}\) 的值,csc 180° 可能显示为接近 \(\pm 10^{16}\) 的值。这些都是浮点舍入的假象。应将约 \(10^{-16}\) 的数值视为 0,并将这些角度上约 \(\pm 10^{16}\) 的数值视为无定义。